Sınavdan Önce İyi Gelir..

Sınavdan Önce İyi Gelir.. Haziran 2, 2008

Filed under: Uncategorized — elmasca @ 2:42 pm

İntegral, verilen bir f(x) göndermesini türev kabul eden F(x) fonksiyonunun bulunması olarak yapılabilir. F(x) göndermesine f(x) göndermesinin integrali veya ilkeli denir. İntegral, toplam kelimesinin (sum) baş harfi s’nin biraz evrim geçirmiş hali olan ∫ işareti ile gösterilir. Bu gösterim Leibniz tarafından tanımlanmıştır.

$F(x) = \int f(x)+ c,$

c bir sabiti gösterir ve integralin bir sabit farkı ile bulunabileceğine işaret eder.
Bir eksen takımında gösterilen f(x) göndermesinin altında kalan a < x < b aralığındaki alan, integral yardımıyla hesaplanabilir. Bu amaçla alan küçük dikdörtgenlere bölünerek, bunların alanı hesap edilip toplanır. Dikdörtgen sayısı arttıkça toplam eğri altındaki alan, alanın değerine yaklaşır ve integralin tam değeri bulunmuş olur. Bu toplama Riemann toplamı denir. İntegralin Riemann anlamındaki tanımı Riemann toplamındaki bölüntü sayısı olan n nin bir limit içerisinde sonsuza götürülmesiyle elde edilir.

$S = \lim_{\Delta x \to 0}\sum_{i=0}^{n-1} f(x_i) \Delta x_{i} = \int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a)$

Bu şekildeki integral belirli sınırlar arasında hesaplandığı için, belirli İntegral olarak isimlendirilir. Sınırlar göz önüne alınmadan hesaplanan integrale ise belirsiz integral denir. Bazı durumlarda f(x) göndermesinin integrali F(x) bulunamaz. Bu durumda belirli integral sayısal olarak hesaplanır.

Uzunluk, alan ve hacimlerin hesaplanmasında integral hesabın önemli yeri vardır. Birden fazla değişkene bağlı fonksiyonlarda integral kavramı genişletilebilir ve bu durumda katlı integraller ortaya çıkar.

Riemann‘dan sonra soyut kümelerin de integrallenebilmesi amacıyla Lebesgue integrali geliştirilmiştir.

İntegral alma yöntemleri

Değişken Değiştirme

Bir integral, değişkeni ve diferansiyeli başka bir fonksiyonla değiştirilerek hesaplanabilir.

$\int f(x)~dx = \int f(u)~du$

Örneğin, $\int x\sqrt{x^2-1}~dx$ integralini hesaplamak için bir değiştirme uygulanabilir.

$u = x^2 - 1~$

İki tarafın da diferansiyeli alınırsa,

$du = 2x~dx$

$x~dx = \frac{1}{2}du$

Artık integralde $x^2 - 1~$ yerine $u~$ , $x~dx$ yerine de $\frac{1}{2}~du$ konulabilir.

$\int \frac{1}{2}\sqrt{u}~du$

$\frac{1}{3}u^{\frac{3}{2}}$

En başta uygulanan $u = x^2 - 1~$ değişimi geri alınırsa,

$\frac{1}{3}(x^2 - 1)^{\frac{3}{2}}$ elde edilir.

Rasyonel Fonksiyonlar

$\int dx = x + C$

$\int x^n\,{\rm d}x = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\qquad\mbox{ if }n \ne -1$

$\int {dx \over x} = \ln{\left|x\right|} + C$

$\int {dx \over {a^2+x^2}} = {1 \over a}\arctan {x \over a} + C$

İrrasyonel Fonksiyonlar [değiştir]

$\int {dx \over \sqrt{a^2-x^2}} = \sin^{-1} {x \over a} + C$

$\int {-dx \over \sqrt{a^2-x^2}} = \cos^{-1} {x \over a} + C$

$\int {dx \over x \sqrt{x^2-a^2}} = {1 \over a} \sec^{-1} {|x| \over a} + C$

Logaritmik Fonksiyonlar [değiştir]

$\int \ln {x}\,dx = x \ln {x} C$

$\int \log_b {x}\,dx = x\log_b {x} - x\log_b {e} + C$

Üslü Fonksiyonlar [değiştir]

$\int e^x\,dx = e^x + C$

$\int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln{a}} + C$

Trigonometrik Fonksyionlar [değiştir]

$\int \sin{x}\, dx = -\cos{x} + C$

$\int \cos{x}\, dx = \sin{x} + C$

$\int \tan{x} \, dx = -\ln{\left| \cos {x} \right|} + C$

$\int \cot{x} \, dx = \ln{\left| \sin{x} \right|} + C$

$\int \sec{x} \, dx = \ln{\left| \sec{x} + \tan{x}\right|} + C$

$\int \csc{x} \, dx = \ln{\left| \csc{x} - \cot{x}\right|} + C$

$\int \sec^2 x \, dx = \tan x + C$

$\int \csc^2 x \, dx = -\cot x + C$

$\int \sec{x} \, \tan{x} \, dx = \sec{x} + C$

$\int \csc{x} \, \cot{x} \, dx = - \csc{x} + C$

$\int \sin^2 x \, dx = \frac{1}{2}(x - \sin x \cos x) + C$

$\int \cos^2 x \, dx = \frac{1}{2}(x + \sin x \cos x) + C$

$\int \sec^3 x \, dx = \frac{1}{2}\sec x \tan x + \frac{1}{2}\ln|\sec x + \tan x| + C$

$\int \sin^n x \, dx = - \frac{\sin^{n-1} {x} \cos {x}}{n} + \frac{n-1}{n} \int \sin^{n-2}{x} \, dx$

$\int \cos^n x \, dx = \frac{\cos^{n-1} {x} \sin {x}}{n} + \frac{n-1}{n} \int \cos^{n-2}{x} \, dx$

$\int \arctan{x} \, dx = x \, \arctan{x} - \frac{1}{2} \ln{\left| 1 + x^2\right|} + C$

Hiperbolik Fonksiyonlar [değiştir]

$\int \sinh x \, dx = \cosh x + C$

$\int \cosh x \, dx = \sinh x + C$

$\int \tanh x \, dx = \ln| \cosh x | + C$

$\int \mbox{csch}\,x \, dx = \ln\left| \tanh {x \over2}\right| + C$

$\int \mbox{sech}\,x \, dx = \arctan(\sinh x) + C$

$\int \coth x \, dx = \ln| \sinh x | + C$

$\int \mbox{sech}^2 x\, dx = \tanh x + C$

Ters Hiperbolik Fonksiyonlar [değiştir]

$\int \operatorname{arcsinh} x \, dx = x \operatorname{arcsinh} x - \sqrt{x^2+1} + C$

$\int \operatorname{arccosh} x \, dx = x \operatorname{arccosh} x - \sqrt{x^2-1} + C$

$\int \operatorname{arctanh} x \, dx = x \operatorname{arctanh} x + \frac{1}{2}\log{(1-x^2)} + C$

$\int \operatorname{arccsch}\,x \, dx = x \operatorname{arccsch} x+ \log{\left[x\left(\sqrt{1+\frac{1}{x^2}} + 1\right)\right]} + C$

$\int \operatorname{arcsech}\,x \, dx = x \operatorname{arcsech} x- \arctan{\left(\frac{x}{x-1}\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\right)} + C$

$\int \operatorname{arccoth}\,x \, dx = x \operatorname{arccoth} x+ \frac{1}{2}\log{(x^2-1)} + C$

Like this:

Be the first to like this post.

Yorum yapın

Yorum yapın Cancel reply

Enter your comment here...

Fill in your details below or click an icon to log in:

Eposta (gerekli) (Address never made public)

İsim (gerekli)

İnternet sitesi

You are commenting using your WordPress.com account. ( Log Out / Değiştir )

You are commenting using your Twitter account. ( Log Out / Değiştir )

You are commenting using your Facebook account. ( Log Out / Değiştir )

Vazgeç

Connecting to %s

Pts	Sal	Çar	Per	Cum	Cts	Paz
« May
						1
2	3	4	5	6	7	8
9	10	11	12	13	14	15
16	17	18	19	20	21	22
23	24	25	26	27	28	29
30

Elmasca’s Weblog

..

Sınavdan Önce İyi Gelir.. Haziran 2, 2008